A note on binary quantum collision operators conserving mass momentum and energy

In this note, we generalize the Boltzmann collision operator modeling binary particle particle collisions to a quantum framework using non local quantum entropy principles. Une note sur les opérateurs de collisions quantiques conservant la masse, l’impulsion et l’énergie Résumé. Dans cette note, nous généralisons l’opérateur de collision de Boltzmann modélisant les collisions binaires particule-particule au cadre quantique, en utilisant un principe non-local de minimisation d’entropie quantique. Version Française abrégée L’objet de cet article est la dérivation d’opérateurs de collisions pour l’équation de Boltzmann quantique (1) où w(r, p, t) est la distribution de Wigner, r ∈ R dénotant la position, p ∈ R, l’impulsion et t, le temps. V (r, t) est le potentiel et l’opérateur V (r + σ~ 2i∇p, t) dans (1) doit être compris dans le sens des opérateurs pseudo-différentiels. q(w,w) est un opérateur nonlinéaire modélisant les interactions binaires entre les particules. Le but de cette note est de proposer une expression adéquate de q(w,w). Différentes expressions de q sont disponibles dans la littérature pour modéliser des collisions avec l’environnement [1], [2], [3], [7]. Ici, nous nous intéressons aux interactions binaires. A notre connaissance, l’expression proposée est la première permettant de satisfaire les deux principes énoncés ci-dessous. Par analogie avec le cas classique, nous dérivons une forme générale de l’opérateur en se fondant sur deux principes: (i) q conserve localement un ensemble de grandeurs macroscopiques (par ex. la masse, l’impulsion et l’énergie); (ii) q dissipe l’entropie. La différence avec le cas classique est que l’entropie est définie globalement comme étant la trace d’un opérateur, et non localement. La contrainte (i) combinée à des considérations de symétrie et de microréversibilité conduit à une exression de l’opérateur de la forme (4) dans laquelle l’opérateur taux de transition K satisfait Note présentée par xxxxx